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资产组合有效集定理

  资产组合有效集定理_金融/投资_经管营销_专业资料。资产组合的有效集定理 (一)资产组合收益与风险的测定 1、资产组合的收益 资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。 设一项 资产组合中含有 n 项资产, ri 表示第 i 种资产的

  资产组合的有效集定理 (一)资产组合收益与风险的测定 1、资产组合的收益 资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。 设一项 资产组合中含有 n 项资产, ri 表示第 i 种资产的收益率,wi 表示第 i 种资产在 令 组合中的比例。则组合 P 的预期收益率为: E(rP)=E(w1r1+ w2r2…+ wnrn) = w1E(r1)+ w2E(r2)+…+ wnE(rn) =∑wiE(ri) 其中,∑wi =1,i=1,2,…,n。 2、资产组合的风险 衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。 资产组合的方差不仅和其组成 资产的方差有关,同时还与组成资产之间的相关程度有关。 对于有 n 项资产的组合 P 来说,其总方差为: σ P2=∑∑wi wjcov(ri,rj);wi 和 wj 分别表示资产 i 和资产 j 的投资权重 其中当 i=j 时,cov(ri,rj)表示资产 i 收益的方差,即 cov(ri,rj)=σ 2 i 当 i≠j 时,cov(ri,rj)表示资产 i 和资产 j 收益间的协方差。用公式表示: cov(ri,rj) =E{[ ri- E(ri)][ rj- E(rj)]} 协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。 如果 cov(ri,rj)0,即协方差为正数,那么证券 i 和证券 j 的收益呈同向 变化,即当证券 i 的收益大于其预期收益 E(ri)时,证券 j 的收益也大于它的预 期收益。 反之,如果 cov(ri,rj)0,即协方差为负数,那么证券 i 和证券 j 的收益 呈反向变化。 为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度,通常把协方差正规化,使用 资产 i 和资产 j 收益间的相关系数 ρ ij,用公示表示: ρ ij= cov(ri,rj)/σ iσ ρ ij 的取值范围为[-1,1]。 j ,其中 σ i 和 σ j 分别表示证券 i 和 j 的标准差, 当 ρ ij=1 时,证券 i 和 j 是完全正相关的。 当 ρ ij=-1 时,证券 i 和 j 是完全负相关的。 当 ρ ij=0 时,证券 i 和 j 之间不存在相关关系 重点关注由两种证券构成的投资组合: 这一投资组合的收益: E(rP)=E(w1r1+ w2r2)= w1E(r1)+ w2E(r2) 这一投资组合的方差: σ P2= w12σ 12+ w22σ 22+ 2w1 w2 cov(r1,r2) = w12σ 12+ w22σ 22+ 2w1 w2ρ 12σ 1σ 2 当 ρ 12=1 时,σ P= w1σ 1+ w2σ 2;此时组合标准差等于组合中单个证券标准差 的加权平均值。 当 ρ 12=0 时,σ P=(w12σ 12+ w22σ 22)1/2 当 ρ 12=-1 时,σ P=|w1σ 1- w2σ 2| 显然,投资组合的标准差在 ρ 12=-1 时最小,ρ 12=1 时最大。 例:已知证券组合 P 是由证券 1 和证券 2 构成,两种证券的预期收益和标准 差分别为 E(r1)=20%,σ 1=10%;E(r2)=25%,σ 2=20%,并且两种证券的权重分别 为 w1= w2=50%,请计算由这两种证券所构成的证券组合 P 的预期收益率,并分别 计算 ρ 12=1,ρ 12=0,ρ 12=-1 时证券组合 P 的标准差。 答:证券组合 P 的预期收益率为: E(rP)=50%×20%+50%×25%=22.5% 证券组合 P 的标准差分别为: 当 ρ 12=1 时,σ P= w1σ 1+ w2σ 2=50%×10%+50%×20%=15% 当 ρ 12=0 时,σ P=(w12σ 12+ w22σ 22)1/2=(50%2×10%2+50%2×20%2)1/211.2% 当 ρ 12=-1 时,σ P=|w1σ 1- w2σ 2|=|50%×10%-50%×20%|=5% 需要指出的是, 证券组合分散化的效果大小取决于证券之间的相关系数。 随 着相关系数从 1 增加到-1,即证券之间由完全正相关发展到完全负相关,证券 组合的标准差减少到最小,分散化效果也在不断显现。 (二)资产组合的可行集 可行集,也叫投资机会集合,是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投 资组合的总体。我们已经知道,对于任何一个单一证券,都可以用期望收益率和 标准差来描述,那么在均值——方差平面图上我们可用相对应的点来表示该证 券,其中横坐标表示该证券的标准差,纵坐标表示该证券的期望收益率。 相应的任何一个投资组合也可以用组合的期望收益率和标准差确定出坐标 系中的一个点。这一点将随着组合的权数变化而变化,其轨迹将是经过 A 和 B 的一条连续曲线,这条曲线是证券 A 和证券 B 的组合线。这条组合线就是由证 券 A 和证券 B 构成的可行集,也称为投资机会集合。可行集上的每一点都表示 一个由证券 A 和证券 B 构成的可能的组合。 由 2 种证券构成的可行集——双曲线 种以上证券构成的可行集——均值—方差平面上的一个区域,整个可 行集呈雨伞状,可行集区域的左侧边界仍然是双曲线的一部分。 大同煤业收益 11% 大同煤业标准差 14.93% 大同煤业与工商银行相关 系数 工商银行收益 5% 工商银行标准差 10.80% -0.82 通过设置不同的投资比重, 可以得出不同的组合收益率和组合标准差,将这 些不同的组合点(标准差、收益率)相连,可以得到一条平滑的凹形曲线——投 资机会集合——投资机会集合, 又叫可行集。 可行集参考自编教材中可行集解释。 大同煤业 工商银行 组合收益率 组合标准差 比重 比重 1 0 11% 14.93% 0.9 0.1 10.4% 12.57% 0.8 0.2 9.8% 10.25% 0.7 0.3 9.2% 8.01% 0.6 0.4 8.6% 5.95% 0.5 0.5 8.0% 4.33% 0.4 0.6 7.4% 3.77% 0.3 0.7 6.8% 4.66% 0.2 0.8 6.2% 6.42% 0.1 0.9 5.6% 8.54% 0 1 5.0% 10.80% (三) 可行集与相关系数 如上所述,可行集左侧边界曲线通常为双曲线的一部分。可行集左侧边界 曲线向左弯曲的程度取决于证券 A、B 之间的相关程度。随着相关系数由 1 变成 -1,可行集左侧边界曲线变得越来越向左弯曲,这说明随着相关系数的降低, 组合的标准差在逐渐减小,组合的风险得到了有效降低。 从图中可以看出当相关系数 ρ =1 时,可行集左侧边界曲线是连接证券 A 和 B 的一条直线; 随着相关系数降到 0,可行集左侧边界曲线开始显著向左弯曲,变成一条凹 形曲线; 当相关系数为负,可行集左侧边界曲线进一步向左拉伸。 最终当相关系数 ρ =-1 时, 可行集左侧边界曲线实际上变成了一种折线,组 合的标准差甚至可以取到 0,此时组合完全没有风险,得到一个稳定的收益率。 这正是分散化的魅力所在。这很好理解,当 ρ =-1 时,证券 A 和证券 B 完全负相 关, 一种证券收益率的上涨与另一种证券收益率的下跌相互抵消,从而完全消除 了组合的风险。 注意:两种极端情况下的风险资产可行集: 1、当相关系数=1,可行集是一条直线,投资机会集合是一条折线。 此时,最小方差点位于纵轴上,最小标准差=0,此时投资组合可以实现零风险。 (四)资产组合的有效集:马克维茨最重要的结论——有效边界 请大家思考,可行集上的每一点是否都是有效的投资组合呢? 要判断这一点,我们首先需要对有效加以界定。 经济学的一个基本假定:投资者是理性的,他们总是在寻找最优决策: 在成本一定的情况下,收益最大化 在收益一定的情况下,成本最小化 同样地,在金融学中,投资者在进行投资时,也会遵循最优化决策: 同一风险、最大收益 同一收益、最小风险 这就是有效的含义。 据此,我们可以看出在由大同煤业和工商银行组成的可行集上,并非所有 的点都符合这一原则: 可行集上最小方差点下方的曲线是无效的。 可行集上最小方差点上方的曲线 AB 遵循了有效的含义——同一风险、收益 最大;同一收益、风险最小。所以——可行集上最小方差点上方的曲线,被称 为马克维茨有效集。 关于马克维茨有效集 也叫马克维茨有效边界 你需要掌握: 1、从图形上看,马克维茨有效集是最小方差点上方的曲线、马克维茨有效集是针对风险资产而言的,因此马克维茨有效集上的每一点都 代表风险资产的有效组合。例如,大同煤业与工商银行——风险资产组合; 股票与债券——风险资产组合 怎样判断风险资产?收益率不确定 标准差0 4、马克维茨有效集的形状——凹形 (1)凹性——相对于 X 轴 (2)含义: (3)凹形的判断方法——请参考前面判断投资者风险类型的方法 凹形:将曲线上任意两点相连,连线低于曲线 根据有效的含义:同一风险、最大收益;同一收益,最小风险 投资者总是更偏好均值——方差图中左上方的点,即更高的收益、更低的 风险。 所以,将有效边界 AB 上的任意两点 L 和 H 连线,点 C 是 LH 连线上的一点。 其中, L 代表风险资产的一种有效组合,点 H 代表风险资产的另一种有效 点 组合。 由于点 C 是 LH 连线上的一点,因此点 C 是风险资产有效组合 L、H 所构成的 一种新的线性组合。 例如,E(RC)=WL×E(RL)+ WH×E(RH) 而点 D 是马克维茨有效集 AB 上的一点,点 D 与点 C 的风险水平相同。 根据凹形的含义:曲线上的点高于任意两点连线上的点,即点 D 高于点 C, 因此,E(RD)>E(RC) 可见,马克维茨有效集上的点 D 满足同一风险、最大收益。 同样地,将点 C 与马克维茨有效集 AB 曲线上的点 E 相比,点 C 与点 E 处于 同一收益,但是点 E 的标准差要小于点 C。 说明,马克维茨有效集上的点 E 满足同一收益、最小风险。 反之, 如果马克维茨有效集呈凸性,则有效边界上的点不符合同一风险水平 下,最大收益;同一收益水平下,最小风险。所以,有效边界必然呈凹形。 (五)无差异曲线、无差异曲线 确定投资组合的有效集后, 投资者可根据自己对风险的个人偏好从这个有效 集中选出更适合自己的投资组合。投资者的个人偏好可以用无差异曲线来描述。 这里的无差异曲线和消费者效用函数中的无差异曲线非常类似,是指能为投资 者带来同等效用水平(即满足程度)的收益和风险的不同组合。 风险偏好不同的投资者,其无差异曲线的形状也不同。尽管如此,绝大多数 投资者的无差异曲线具有凸性,这是因为绝大多数的投资者都是风险厌恶者。 凸性的无差异曲线表明随着投资风险的上升,投资者要求以越来越多的收益作 为承受风险的补偿。换言之,投资者越来越难以忍受风险。 风险厌恶者的无差异曲线具有以下六个特点: (1)无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线---说明投资者要么喜欢低风险、 低收益的组合,要么喜欢高风险、高收益的组合。 (2)每个投资者的无差异曲线形成密布整个平面。 同时, 由于不同的无差异曲 线代表不同的满足程度,因此不同的无差异曲线)同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。 (4)不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。 (5)无差异曲线的位置越高,其上的投资组合给投资者带来的满意程度就越 高。投资者总是更偏好于均值—方差平面上靠近左上方的无差异曲线上的组合, 因为它代表着更高的收益和更小的风险。 (6)无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。 2、最优投资组合 最优投资组合是指一个投资者选择一个有效的投资组合并且具有最大效 用。 有效边界是客观存在的一条曲线,它告诉我们哪些组合是有效的。但是投资 者具体选择有效边界上的哪一点进行投资,则取决于投资者的个人主观偏好。 投资者的个人偏好可以通过无差异曲线来反映。因此,在确定最优投资组合 时,必须同时考虑有效边界和无差异曲线。 对于投资者而言, 无差异曲线的位置越高越好,此时投资者可以在更低的风 险水平上获取更高的收益。 投资者需要在有效边界上找到一个具有下述特征的有 效组合:相对于其他有效组合,该组合所在的无差异曲线位置最高。这样的投资 组合便是他最满意的有效组合, 而它恰恰是无差异曲线与有效边界相切的切点所 表示的组合。 如下图所示,在均值—方差平面上,由于无差异曲线具有凸性,表示随着风 险的增加,投资者要求更多的收益作为补偿;有效边界具有凹形,表示随着风 险的增加,收益增加的幅度在减慢。因此,对于每一个具体的投资者而言,在 其众多的无差异曲线中,必然有一条与有效边界相切,如下图中的无差异曲线 与有效边界 AB 相切于点 O。切点 O 就是该投资者的最优投资组合,代表投资 者能够实现的最大效用。

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